同样是关于质数,为啥哥德巴赫猜想比质数定理有名?

,Marianne,翻译:C&C,审校:zhenni,题图来自:pixabay 质数是那些只能被自身和1整除的整数,比如前七个质数是2,3,5,7,11,13,17。 图示…

,Marianne,翻译:C&C,审校:zhenni,题图来自:pixabay

质数是那些只能被自身和1整除的整数,比如前七个质数是2,3,5,7,11,13,17。

图示为埃拉托色尼筛选法,可以用于寻找质数。图源 SKopp, CC BY-SA 3.0. 

每一个正整数都可以借助一种特定的数学结构写成质数的乘积,例如 30 = 2×3×5 。质数就像是构成其他整数的基本积木,而这就是人们觉得它们有趣的原因。

质数是无穷多的,而这一点早已被古希腊数学家熟知,无论你在数轴上移动多远总有一个质数在你前面。下面是希腊最著名的数学家欧几里得的证明。

假设质数是有限的。我们可以用 p, p, p3 等来表示,直到最后一个质数 pn 。现在定义某个数字 P

比方说如果只有5个质数:p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11,那么存在一个数 P

如果 本身是质数(就像在我们的例子中一样),那么很明显它不可能是我们列表中的一个质数:因为它比所有的质数都大。

如果 P 不是质数,那么,就像其他自然数一样,它一定可以写成质数的乘积。我们选一个能被 P 整除的质数,用 p 表示。可以看出, p 不能是 p1pn 的任何质数,否则就会出现余数 1 :

而 1 不能被任何其他的自然数整除。因此,集合 p1,p2,p3…pn 并不能包含我们假设的所有质数。这个矛盾意味着质数一定是无限多的。

几千年来,我们一直知道有无限多个质数但并没有一个简单的公式告诉我们它们都是多少。强大的计算机算法使我们能够找到越来越大的质数,但却永远不可能把它们全部写下来。

质数定理告诉我们质数在其他整数中的分布。它试图回答这样一个问题:“给定一个正整数 n ,包括 n 在内的所有整数,有多少个是质数?” 

质数定理并没有精确地回答这个问题,而是给出了一个近似值。宽泛地说,对于比较大的整数,表达式:

这是一个很准确的质数估计,而且随着n的增大,这个估计也会变得更准确。其中 ln(n) 是自然对数,可以通过计算器得到。

举个例子,让我们来看看 n=1000 的情况。此时所有质数可以在这个列表中查找。我们的估计是:

这是一个很准确的近似。                                                                                                                         

然而,要精确地理解质数定理告诉我们的东西,我们需要说出我们所说的“一个准确的近似”是什么意思。质数定理并不是说,对于一个给定的整数n,真值和我们的近似值之间的差值接近 0 。相反,它告诉我们关于“近似值占真值的百分比是多少?”的问题。

回到我们 n=1000 的例子,真值是 168,近似值是 145 。因此,近似构成的比例:

近似值占真实值的 86% ,不错。

当 n=100000 时,包含 100000 的质数是 9592 ,这是真值,估值是 8686 。

在这种情况下,估值占真值的 90% 。

这相比于 n=1000 的情况,比例从 86% 提升到了 90% 。

一般来说,质数定理告诉我们,对于 n 很大的情况, n/ln(n) 得到的近似值几乎是真值的 100% 。事实上,你可以让它接近 100% ——只要你选择足够大的 n 。

红色曲线显示的是小于或等于n的质数数目,其中横轴表示 n 。蓝色曲线给出 n/ln(n) 的值。真实结果和近似结果之间的差值随着 n 的增长而增加,但两者之间的比值趋于 1 。                                           

为了用数学符号来描述素数定理在数学上的辉煌,让我们先用表示小于或等于的质数的数目。这个定理可以用公式表述:

如果你懂一点微积分你就会知道你可以交换分子和分母,此时表达式 (1) 等于:

素数定理通常用第二个表达式 (2) 来表述,有时也写成:

表示:“当 n 趋近于无穷大时, n/log(n) 趋近于 π(n) ”。

原文链接:

https://plus.maths.org/content/maths-minute-prime-number-theorem

https://plus.maths.org/content/maths-minute-how-many-primes

,Marianne

作者: 准妈妈网

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